☛ e - Corrigé

Solution

1. a.  ${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^n{\displaystyle \frac{x^k}{k!}}{\text{e}}^{-x}={\text{e}}^{-x}(1+x+{\displaystyle \frac{x^2}{2!}}+\dots +{\displaystyle \frac{x^n}{n!}})}$ . 
On en déduit que $f(0)=1$ .

    b.  ${\displaystyle f(1)=\sum _{k=0}^n{\displaystyle \frac{1}{k!}}{e}^{-1}}$  donc  $f(1)=u_n{\text{e}}^{-1}={\displaystyle \frac{u_n}{\text{e}}}$ .

2. a.  $f$ est dérivable sur  $[0;1]$ et 
${\displaystyle \begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =-{\text{e}}^{-x}\sum _{k=0}^n{\displaystyle \frac{x^k}{k!}}+{\text{e}}^{-x}\sum _{k=1}^{n}k{\displaystyle \frac{x^{k-1}}{k!}}\\ & =(-\sum _{k=0}^n{\displaystyle \frac{x^k}{k!}}+\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{x^{k-1}}{(k-1)!}}){\text{e}}^{-x}\\ & =(-\sum _{k=0}^n{\displaystyle \frac{x^k}{k!}}+\sum _{k=0}^{n-1}{\displaystyle \frac{x^k}{k!}}){\text{e}}^{-x}\\ & =-{\displaystyle \frac{x^n}{n!}}{\text{e}}^{-x}\end{array}}$

$f^{\prime }(0)=0$  et pour tout réel  $x\in ]0;1]$ , $f^{\prime }(x)<0$ . La fonction  $f$ est donc strictement décroissante sur $[0;1]$ .

    b. Comme  $f$ est strictement décroissante sur $[0;1]$ , alors  $f(0)>f(1)$ donc  $1>{\displaystyle \frac{u_n}{\text{e}}}$ soit enfin $u_n<\text{e}$ .

3. a. $g$  est dérivable sur  $[0;1]$ et
$\begin{array}{rl}{g}^{\prime }(x)& =f^{\prime }(x)+{\displaystyle \frac{1}{n!}}\\ & =-{\displaystyle \frac{x^n}{n!}}{\text{e}}^{-x}+{\displaystyle \frac{1}{n!}}\\ & ={\displaystyle \frac{1-x^n{\text{e}}^{-x}}{n!}}\end{array}$

Pour tout réel $x\in [0;1]$ ,  $x^n⩽1$ et  ${\text{e}}^{-x}⩽1$ donc  $x^n{\text{e}}^{-x}⩽1$ et par suite $g^{\prime }(x)⩾0$ .

Remarque

On peut noter que  $g^{\prime }(x)=0⟺x^n{\text{e}}^{-x}=1$ et que cette équation n'a pas de solution sur  $[0;1]$ (en effet, les deux termes du produit sont compris entre  $0$ et  $1$ mais ne prennent pas la valeur  $1$ en même temps).
Donc  $g^{\prime }(x)>0$ et  $g$ est strictement croissante sur $[0;1]$ .

    b. On en déduit que  \(g(0) donc que  $1<{\displaystyle \frac{u_n}{\text{e}}}+{\displaystyle \frac{1}{n!}}$ soit $u_n>(1-{\displaystyle \frac{1}{n!}})\text{e}$ .

4. Des questions $2b$  et $3b$ , on déduit l'encadrement  \(\text e.

Comme  $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{1}{n!}}=0$ , alors $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(1-\frac{1}{n!})\text{e}=\text{e}$ . Donc, d'après le théorème des gendarmes, $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=\text{e}$ .

On a donc montré que  ${\displaystyle \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=0}^n{\displaystyle \frac{1}{k!}}=\text{e}}$ .

Remarque
De façon plus générale, on peut montrer que ${\displaystyle \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=0}^n{\displaystyle \frac{x^k}{k!}}={\text{e}}^x}$ .