☛ e - Corrigé

Solution

1. a.  \(\displaystyle f(x) = \sum_{k=0}^n\dfrac{x^k}{k!}\text e^{-x}=\text e^{-x}\left(1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\ldots+\dfrac{x^n}{n!}\right)\) . 
On en déduit que \(f(0)=1\) .

    b.  \(\displaystyle f(1)=\sum_{k=0}^n\dfrac{1}{k!}e^{-1}\)  donc  \(f(1) =u_n\text e^{-1}=\dfrac{u_n}{\text e}\) .

2. a.  \(f\) est dérivable sur  \([0;1]\) et 
\(\displaystyle \begin{align}f^{\prime}(x) &= -\text e^{-x}\sum_{k=0}^n \dfrac{x^k}{k!}+\text e^{-x}\sum_{k=1}^n k\dfrac{x^{k-1}}{k!} \\ &=\left( -\sum_{k=0}^n \dfrac{x^k}{k!} +\sum_{k=1}^n\dfrac{x^{k-1}}{(k-1)!}\right)\text e^{-x} \\ &=\left( -\sum_{k=0}^n \dfrac{x^k}{k!} +\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{x^{k}}{k!}\right)\text e^{-x} \\ &= -\dfrac{x^n}{n!}\text e^{-x}\end{align}\)

\(f^\prime(0)=0\)  et pour tout réel  \(x\in]0;1]\) , \(f^\prime(x)<0\) . La fonction  \(f\) est donc strictement décroissante sur \([0;1]\) .

    b. Comme  \(f\) est strictement décroissante sur \([0;1]\) , alors  \(f(0)>f(1)\) donc  \(1>\dfrac{u_n}{\text e}\) soit enfin \(u_n<\text e\) .

3. a. \(g\)  est dérivable sur  \([0;1]\) et
\(\begin{align}g^\prime(x) &= f^\prime(x)+\dfrac{1}{n!} \\ &= -\dfrac{x^n}{n!}\text e^{-x}+ \dfrac{1}{n!} \\ &=\dfrac{1-x^n\text e^{-x}}{n!} \end{align}\)

Pour tout réel \(x\in[0;1]\) ,  \(x^n\leqslant1\) et  \(\text e^{-x}\leqslant1\) donc  \(x^n\text e^{-x}\leqslant1\) et par suite \(g^\prime(x)\geqslant0\) .

Remarque

On peut noter que  \(g^\prime(x)=0\iff x^n\text e^{-x}=1\) et que cette équation n'a pas de solution sur  \([0;1]\) (en effet, les deux termes du produit sont compris entre  \(0\) et  \(1\) mais ne prennent pas la valeur  \(1\) en même temps).
Donc  \(g^\prime(x)>0\) et  \(g\) est strictement croissante sur \([0;1]\) .

    b. On en déduit que  \(g(0) donc que  \(1<\dfrac{u_n}{\text e}+\dfrac{1}{n!}\) soit \(u_n>\left( 1-\dfrac{1}{n!} \right)\text e\) .

4. Des questions \(2b\)  et \(3b\) , on déduit l'encadrement  \(\text e.

Comme  \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}\dfrac{1}{n!}=0\) , alors \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}\left(1- \frac{1}{n!} \right)\text e=\text e\) . Donc, d'après le théorème des gendarmes, \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}u_n=\text e\) .

On a donc montré que  \(\displaystyle { \lim\limits_{n \rightarrow +\infty}\sum_{k=0}^n \dfrac{1}{k!}=\text e}\) .

Remarque
De façon plus générale, on peut montrer que \(\displaystyle { \lim\limits_{n \rightarrow +\infty}\sum_{k=0}^n \dfrac{x^k}{k!}=\text e^x}\) .